Алексей Васильевич Квасов родился в 1718 году. Его главным учителем стал руководитель архитектурной школы при Канцелярии от строений Никола Жирар, а после его смерти в конце 1750-х годов - новый руководитель школы Семён Волков. У Алексея был старший брат Андрей, который в 1740-х годах был помощником М. Г. Земцова, затем уехал на Украину и в Петербург не возвращался.
С 1758 года Алексей Квасов стал работать при Сенате, где его руководителем был архитектор А. Ф. Вист. В 1763 году, вероятно по рекомендации Виста, он возглавил архитектурную часть "Комиссии о каменном строении Санкт-Петербурга и Москвы".
Алексей Васильевич Квасов стал автором генерального плана Санкт-Петербурга, разработанного к середине 1764 года. После него он работал над планами отдельных частей города. Под его руководством был разработан проект реконструкции набережных Фонтанки, в результате которого через реку были перекинуты семь однотипных каменных мостов с башенками. Квасов же руководил разработкой плана установки мостов через Мойку.
К 1770 году Квасов завершил разработку полного проекта упорядочивания и преобразования всего Санкт-Петербурга. В соответствии с ним была начата реконструкция 1-й Адмиралтейской части города. Тогда окончательно утвердилась полуциркульная форма Дворцовой площади, такой же стала площади перед зданием Двенадцати коллегий.
Деятельность архитектора не ограничивалась Петербургом. Он регулировал застройку Москвы, Твери, Тобольска, Тюмени, Харькова, Нижнего Новгорода, Астрахани. В последние месяцы жизни Комиссия рассматривала планы перестройки Вышнего Волочка, Боровичей, Валдая, Осташкова.
Архитектор Алексей Васильевич Квасов скончался 8 февраля 1772 года. Его должность в Комиссии занял Иван Егорович Старов.
