Алексей Фёдорович Бубырь родился 16 марта 1876 года в деревне Алексеевка Павлоградского уезда Екатеринославской губернии. В 1897 году он окончил Павлоградскую гимназию и переехал в Санкт-Петербург, где поступил в Институт гражданских инженеров. Ещё будучи студентом Алексей Бубырь побывал в Германии, Франции и Финляндии. Обучение молодой архитектор окончил с отличием в 1902 году.
В 1903 году Бубырь поступил на службу в Канцелярию по учреждениям императрицы Марии. Работая в Канцелярии, архитектор участвовал в строительстве дома Петербургского коммерческого училища (ул. Ломоносова, 11), в 1913 году руководил ремонтом ограды Воронихинского сквера.
Первой работой Алексея Бубыря на частного заказчика стал его совместный проект с архитектором Ильиным, реализованный в 1903-1904 годах - жилой дом при лютеранской церкви святой Анны (Фурштатская ул. 9). В дальнейшем с Ильиным Бубырь сотрудничал неоднократно. Ими в 1905-1906 годах было построено здание школы лютеранского прихода святой Анны (Кирочная ул. 8). Вместе с Н. В. Васильевым Бубырь в 1906-1907 годах построил доходный дом на Стремянной улице (№11). Этот проект оказался настолько удачным, что архитектор выкупил здание и устроил в нём собственную мастерскую.
Алексей Фёдорович Бубырь является автором таких зданий как торговый дом Обольянинова (Таврическая ул. 37), доходные дома Латышской церкви (Загородный пр. 64), Капустина (наб. р. Фонтанки, 159), Визлер (Ковенский пер. 23,), Багровой (Заячий пер. 6); ул. Марата, 30; жилой комплекс Бассейного товарищества собственных квартир (ул. Некрасова, 58-60), дом Р. А. Дидерихса (Большой пр. ПС, 104), здания Главной палаты мер и весов (Московский пр. 19).
Зодчий строил здания и за пределами Петербурга. В 1909 году в Сочи им был создан санаторно-курортный комплекс "Кавказская Ривьера", в который вошли четыре гостиницы, театр, служебные постройки.
Архитектурную деятельность Бубырь совмещал с преподаванием в Институте гражданских инженеров, где до 1918 года он вёл курс архитектурного проектирования и курс проектирования конструкций. Кроме того, Бубырь участвовал в работе Общества гражданских инженеров и Петербургского общества архитекторов в качестве эксперта и секретаря конкурсных жюри.
Последней работой Алексея Фёдоровича Бубыря стал комплекс производственных зданий завода "Русский Рено" (Большой Сампсониевский пр. 69), построенный в 1914-1916 годах.
После 1917 года зодчий перестал получать частные заказы, был лишён возможности вести преподавательскую деятельность. Из столицы он уехал на Украину, где в 1919 году погиб от рук бандитов. Место захоронения Алексея Фёдоровича Бубыря неизвестно.
